Иван Дроздов родился и вырос в Витебске. И в родном Витебске он встал на коньки. В ДЮСШ ХК «Витебск он занимался хоккеем с семи лет, показывал хорошие результаты по своему возрасту и играл за команду детей на год старше.
В 14 лет Иван привлек внимание ярославского «Локомотива» и переехал в Ярославль в академию «Локомотива». Но по окончанию сезона руководство поставило условие: принять российское гражданство и играть в Ярославле либо вернуться на родину. Без сожаления юный хоккеист вернулся в Витебск, где продолжил выступать за местную академию, а в 2014 году дебютировал в высшей лиге Беларуси в составе «Витебск-2». В дебютном сезоне на профессиональном уровне провел 23 матча, в которых набрал 14 (8+6) очков.
Сезон 2015 / 16 провел в «Динамо-Раубичи», сыграл 47 матчей и набрал 31 (13+18) очко.
Сезон 2016 / 17 стал еще более знаменательным в карьере нападающего – Иван дебютировал в Экстралиге в составе родного ХК «Витебск». За тот сезон форвард провел в Экстралиге 17 матчей и набрал 13 (6+7) очков, в высшей лиге сыграл 6 матчей и набрал 7 (5+2) очков, 
В апреле в составе сборной U18 сыграл на чемпионате мира. Выступления Дроздова произвели впечатление на руководство «Юности». К началу сезона 2018 / 19 он был вызван «Динамо». В 2018 году дебютировал в КХЛ в матче против «Ак Барса».
В сезоне 2019 / 20 выступал в основном за «Юность-Минск» в Экстралиге. Во второй половине сезона Дроздов стал чаще выходить на лед в матчах КХЛ, сыграв в итоге в 32 матчах и набрав 5 (2+3) очков. После этого нападающий отправился завершать сезон в минскую «Юность», в составе которой стал лучшим бомбардиром плей-офф – в 14 матчах он набрал 19 (5+14) очков.
В сезоне 2021 /22 провел в системе московского «Спартака» 49 матчей и набрал 20 (13+7) очков. В мае 2022 года в результате обмена стал игроком уфимского «Салавата Юлаева».
В сезоне 2023 / 24 провел 71 матч за в регулярном чемпионате и плей‑офф КХЛ, набрал 56 (28 шайб + 28 передач) очков. 26 февраля 2024 года сделал хет-трик в ворота «Северстали» (первые две шайбы забросил за 28 секунд) и стал пятым белорусским хоккеистом, сделавшим хет-трик в КХЛ.
2 июня 2024 года между «Салаватом Юлаевым» и московским ЦСКА был произведен обмен, в ходе которого Дроздов был обменян в московский клуб на трех игроков и денежную компенсацию. Сезон 2024 / 25 Иван Дроздов провел, защищая цвета ЦСКА. 
В текущем сезоне у Дроздова 20 матчей за ЦСКА и 7 (4+3) результативных баллов.
По данным пресс-службы КХЛ, собранным по итогам первых двух месяцев регулярного чемпионата КХЛ сезона 2025 / 26, белорусский нападающий московского ЦСКА Иван Дроздов стал лидером лиги по скорости полета шайбы. Максимальный зафиксированный показатель форварда составил 174,9 км/ч, что является лучшим результатом среди всех хоккеистов.
Так витеблянин Иван Дроздов, не ставший менять гражданство, сегодня имеет самый сильный бросок в КХЛ.
Поздравляем нашего знаменитого земляка и желаем ему новых нереальных спортивных рекордов и такой же бесконечной преданности хоккею!